Ответ Бори 🦫
Решение системы неравенств с квадратными выражениями может показаться сложным, но если следовать определённым шагам, это станет проще. Давайте разберём процесс пошагово.
Шаг 1: Запись неравенств
Предположим, у нас есть система неравенств, например:
1. $x^2 - 4 Шаг 2: Решение каждого неравенства
Для начала решим каждое неравенство по отдельности.
Неравенство 1: $x^2 - 4
1. Найдём корни: $x^2 - 4 = 0$ даёт $x = -2$ и $x = 2$.
2. Определим промежутки:
- $(-\infty, -2)$
- $(-2, 2)$
- $(2, +\infty)$
3. Проверим знаки на каждом промежутке:
- Для $x 2$ (например, $x = 3$): $3^2 - 4 = 9 - 4 = 5$ (положительно)
Таким образом, решение первого неравенства: $(-2, 2)$.
Неравенство 2: $x^2 - 1 \ge 0$
1. Найдём корни: $x^2 - 1 = 0$ даёт $x = -1$ и $x = 1$.
2. Определим промежутки:
- $(-\infty, -1)$
- $(-1, 1)$
- $(1, +\infty)$
3. Проверим знаки:
- Для $x 1$ (например, $x = 2$): $2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ (положительно)
Таким образом, решение второго неравенства: $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.
Шаг 3: Объединение промежутков
Теперь нужно объединить промежутки, которые мы получили:
1. Первое неравенство: $(-2, 2)$
2. Второе неравенство: $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
Теперь найдем пересечение:
- Для $(-\infty, -1]$ пересекается с $(-2, 2)$ в $(-2, -1]$.
- Для $[1, +\infty)$ пересекается с $(-2, 2)$ в $[1, 2)$.
Итоговое решение
Объединяя результаты, получаем:
$$
(-2, -1] \cup [1, 2)
$$
Почему именно эти промежутки?
Каждый промежуток был определён на основе анализа знаков квадратных выражений. Мы проверяли, где выражения положительны или отрицательны, и находили пересечения, чтобы убедиться, что оба условия выполняются одновременно. Это и есть ключ к решению системы неравенств.
Ответ: $(-2, -1] \cup [1, 2)$